Motivace

Pro numerické i obecné řešení elektrických obvodů napájených harmonickým napětím je nezbytná znalost základních operací s komplexními čísly. Toto cvičení dává studentům možnost ověřit si, zda znají základní operace s komplexními čísly nutné pro úspěšné řešení elekrických obvodů.

Probírají se tato témata:
Základní tvary a jejich význam
Převod mezi nimi

Jako příklady se počítají:
převod z exponenciálního na složkový tvar
převod ze složkového tvaru na exponenciální

Základní tvary komplexních čísel

Komplexní čísla jsou ve čtyřech tvarech:

• geometrický
• složkový
• trigonometrický
• exponenciální

Při řešení elekrických obvodů se používají dva tvary:

• složkový, nutný ke sčítání a odečítání, méně vhodný pro násobení a dělení, nevhodný pro odmocňování, umocňování apod.
  
• exponenciální vhodný k násobení, dělení, umocňování, odmocňování, nelze použít ke sčítání a odečítání
  

Ve složkovém tvaru píšeme komplexní číslo takto



kde je reálná a imaginární složka, je imaginární jednotka s touto vyjímečnou vlastností



Pro exponenciální tvar platí vztah



kde je absolutní hodnota nebo modul a je úhel, který s osou X svírá přímka směřující z počátku do komplexního čísla, viz část Geometrické znázornění komplexních čísel. V analytické geometrii se jedná o průvodič bodu. V teorii obvodů budeme však často mluvit o amplitudě a fázovém úhlu, či jednoduše jen fázi .

Ke snadnějšímu pochopení dvou základních tvarů komplexního čísla, složkového a exponenciálního, by měl sloužit tento obrázek



Komplexní číslo můžeme chápat jako bod v rovině. Reálná složka a imaginární složka jsou jeho kartézskými souřadnicemi, zatímco amplituda a fáze souřadnicemi polárními, po řadě průvodič a úhel.

Z tohoto obrázku lze snadno odvodit převodní vztahy

Převod složkového tvaru na exponenciální
Použijeme Pytagorovu větu a definice funkce tangens. Pozor vztah pro fázi platí jen v pravé polorovině.

......

Převod exponenciálního tvaru na složkový
Použijeme definice funkcí sinus a kosinus

......

Chceme-li převodní vztahy pro zápis komplexního čísla čistě matematicky, musíme použít goniometrického tvaru a jeho vztah ke tvaru složkovému a exponenciálnímu



Převod exponenciálního tvaru na složkový
V předchozí rovnici zjednodušíme tím, že vynecháme některé části



Z podmínky, že reálné a imaginární části na obou stranách rovnixce se musí rovnat, dostaneme hledané vztahy

.....

Převod složkového tvaru na exponenciální
Předchozí vztahy umocníme, sečteme a odmocníme. Získáme vztah pro amplitudu.



Vytvoříme podíl vztahů pro složky a z něho dostaneme vztah pro fázi



Tento vztah však platí jen pro nezápornou reálnou složku, , tj. pro fázový úhel v rozsahu . Pokud je reálná složka záporná, , je fázový úhel v dalších dvou kvadrantech. V tomto případě je nutno použít vztahů

pro

pro

Převeďte tato čísla na složkový tvar. Fáze je uvedena buď v radiánech jako násobek nebo ve stupních

Příklad 1.1a.

Příklad 1.1b.

Příklad 1.1c.

Příklad 1.1d.

Příklad 1.1e.

Příklad 1.1f.

Příklad 1.1g.

Příklad 1.1h.

Příklad 1.1i.

Převeďte tato čísla do exponenciálního tvaru
Pozor Pro fázi ve druhém a třetím kvadrantu platí složitější vztahy

Příklad 1.2a.

Příklad 1.2b.

Příklad 1.2c.

Příklad 1.2d.

Příklad 1.2e.

Příklad 1.2f.

Příklad 1.2g.

Matematické základy teorie obvodů: (PDF-dokument)

   Matematické základy teorie obvodů

Komplexní čísla (soubor PDF):

   Komplexní čísla

Elementární komplexní funkce (PDF dokument):

   Elementární komplexní funkce

Střídavé proudy (PDF dokument):

   Střídavé proudy

Základní prvky (PDF dokument):

   Základní prvky

Stejnosměrné buzení (PDF dokument):

   Stejnosměrné buzení

Harmonické buzení (PDF dokument):

   Harmonické buzení

Náhradní obvody (PDF dokument):

   Náhradní obvody

Přechodový jev (PDF dokument):

   Přechodový jev

Přechodový jev - obrázky (DOC)

   Přechodový jev - Obrázky

Trojfázové obvody (PDF dokument):

   Trojfázové obvody

Dvoubrany - Příklady (PDF dokument):

   Dvoubrany - Příklady

Dvoubrany - Příklady (PDF dokument):

   Nelineární prvky

Kaskádní rovnice dvojbranu získáme, zvolíme-li jako nezávisle proměnné výstupní veličiny dvojbranu, tedy výstupní napětí a proud . Závislými proměnnými jsou pak proměnné .

Použití nalézají především při posuzování přenosu signálu ze vstupu dvojbranu na jeho výstup, který je zakončen pasivním dvojpólem nebo vstupem dalšího dvojbranu. Právě proto zde volíme opačný smysl výstupního proudu než pro obecnou charakteristiku dvojbranu.

Volba výstupního proudu pro je na následujícím obrázku:

Volba kladných smyslů pro kaskádní rovnice dvojbranu

Pro výstupní proud tekoucí zátěží mají kaskádní rovnice následující tvar:

Rozepsáním těchto rovnic dostaneme soustavu dvou rovnic o čtyřech parametrech a se dvěma nezávislými veličinami


Význam těchto prvků a jejich rozměry vyplývají ze stavů naprázdno a nakrátko po vyjádření z výše uvedených rovnic.

Kaskádním spojením dvojbranů rozumíme takové zapojení, kdy je k výstupní bráně jednoho dvojbranu zapojena vstupní brána jiného dvojbranu, viz následující obrázek.

Kaskádní spojení dvojbranů

Takovéto spojení je zřejmě vždy regulární. Je-li výstupní napětí a proud jednoho dvojbranu vstupním napětím a proudem druhého dvojbranu, platí:

Kaskádní matice výsledného dvojbranu se tedy rovná:


Jak vidíme, tak výsledná matice dvojbranu je součinem matic dílčích dvojbranů.
Tento poznatek lze aplikovat na libovolné množství kaskádně spojených dvojbranů. Je však důležité vzít na vědomí, že součin matic není komutativní (matematicky nemusí být často ani možný), čili pořadí dvojbranů má na výsledek velmi zásadní vliv.

V následující části se budeme zabývat výpočtem těch nejjednodušších dvojbranů, které později spojíme do kaskády a dokážeme si tím tak platnost výše uvedeného vzorce, čili že výsledná matice kaskádně spojených dvojbranů je rovna součinu matic dílčích dvojbranů.

Nyní přejděme k několika málo ukázkovým příkladům výpočtu těch nejjednodušších dvojbranů:

První příklad si vysvětlíme podrobněji a v dalších příkladech budeme již uvádět pouze změny způsobené jiným vnitřním zapojením dvojbranu.

Příklad.

Výpočet jednoduchého dvojbranu typu I: Mějme dvojbran definovaný na následujícím obrázku: Nyní přistoupíme k výpočtu prvků kaskádní matice A: Prvek je definován jako poměr vstupního napětí ku výstupnímu při zapojení výstupních svorek dvojbranu naprázdno, tak jak ukazuje předchozí obrázek. Z obrázku je zřejmé, že výstupní napětí je rovno vstupnímu (), čili prvek je roven: Prvek je definovaný jako poměr vstupního napětí ku výstupnímu proudu při zapojení výstupních svorek dvojbranu nakrátko, tak jak je znázorněno na předchozím obrázku. Je zřejmé, že impedance je zkratována a nemá tedy v obvodu žádný význam. Z toho můžeme odvodit, že platí . Při znalosti těchto poměrů lze již snadno vypočítat prvek : Jako poměr vstupního proudu ku výstupnímu napětí při zapojení výstupních svorek dvojbranu naprázdno je definován prvek . K analýze použijeme tedy prvně uvedený obrázek z tohoto příkladu. V tomto příkladě opět platí rovnost vstupního a výstupního napětí , viz obrázek. Vstupní proud dvojbranu snadno vyjádříme . Nyní již známe vše co potřebujeme pro výpočet prvku Prvek je definován jako poměr vstupního ku výstupnímu proudu při zapojení výstupních svorek dvojbranu nakrátko, viz. druhý obrázek tohoto příkladu. Opět nejdříve určíme známé veličiny. Platí zde rovnost vstupního a výstupního napětí a i rovnost vstupního a výstupního proudu , neboť impedance zde opět nemá žádný význam neboť je zapojením nakrátko zkratována. Znalost těchto několika triviálních parametrů nám již umožňuje bez problémů spočítat prvek Tímto jsme spočetli všechny prvky kaskádní matice (A). Ta má tedy ve výsledku tvar: Porovnáním prvků si snadno oběříme souměrnost dvojbranu. Jelikož v našem případě platí , můžeme řící, že dvojbran je podélně souměrný. Vypočítáním determinantu kaskádní matice |A| si ověříme reciprocitu dvojbranu. Ten je reciprocitní, pokud je determinant kaskádní matice roven jedné. Tímto jsme si dokázali reciprocitu dvojbranu.

Nyní si ukážeme výpočet dalšího triviálního dvojbranu, kde je impedance zapojena do podélné větve, narozdíl od předchozího příkladu, kde byla zapojena "mezi" svorkami dvojbranu.

Příklad.

Výpočet jednoduchého dvojbranu typu "pomlčka": Nechť máme dvojbran uvedený na následujícím obrázku: Ze zapojení naprázdno, tak jak je uvedeno na obrázku, určíme analýzou obvodu potřebné parametry. Vyjdeme opět z již dobře známého vzorce pro . Pro nulový proud bude zřejmě nulový i proud , neboť na impedanci nemůže v tomto případě dojít k žádnému úbytku napětí. Z toho vyplývá i rovnost obou napětí, vstupního a výstupního . Nyní již máme vše potřebné pro vyjádření hodnoty prvku : Prvek vychází ze zapojení výstupních svorek dvojbranu nakrátko, tak jak je znázorněno na tomto obrázku a daného vzorce pro Z obrázku je zřejmá rovnost obou proudů . Napětí tentokrát vyjadřovat nemusíme, neboť si plně vystačíme s proudy. Dosazením předchozích úvah do vzorce pro prvek dostáváme: Další prvek určíme ze zapojení naprázdno, podle prvního obrázku tohoto příkladu a vzorce pro . V tomto případě opět platí rovnost obou proudů , neboť nedochází k úbytku napětí na impedanci . Z tohoto závěru plyne i rovnost obou napětí, vstupního a výstupního . Už z první rovnosti jasně plyne výsledek prvku : Poslední zbývající prvek určíme opět ze zapojení nakrátko výstupní brány dvojbranu podle druhého obrázku tohoto příkladu a ze vzorce pro prvek . V tomto zapojení je opět zřejmá rovnost obou proudů . Podíváme-li se ale na vzorec pro tento prvek, zjistíme, že nemusíme tyto proudy ani explicitně vyjadřovat, neboť se ve vzorci pokrátí. Máme tedy spočtenu celou kaskádní matici (A), jež je ve výsledku rovna: Opět z rovnosti prvků můžeme konstatovat, že se jedná o podélně souměrný dvoubran. Výpočtem determinantu kaskádní matice |A| si opět ověříme reciprocitu dvoubranu. Z uvedené rovnosti jasně vyplývá, že se jedná o reciprocitní dvoubran.

Nyní si ukážeme výpočet dalšího dvojbranu s pomocí kterého budeme nakonci ověřovat správnost odvození vztahu pro kaskádní matici dvojbranů spojených do kaskády.

Příklad.

Výpočet jednoduchého dvojbranu typu "velké otočené Gamma": Poučení: Výpočty prvků matice (A) nejsou v obecných případech tak triviální jako v předcházejích dvou příkladech, neboť vstupní napětí a proudy nemusejí být rovny, či "snadno" závislé na výstupních. Je proto důležité brát tyto poznatky při výpočtech na zřetel. Máme dvojbran definovaný zapojením na následujícím obrázku: Podíváme-li se na obrázek podrobněji, určitě každý pozná nezatížený odporový dělič, čili nic nového. Prvek vyjádříme ze zapojení naprázdno jak je znázorněno na prvním obrázku tohoto příkladu a ze vztahu pro prvek . Pro nezatížený dělič napětí platí známý vztah: Dosazením uvedeného vztahu do vzorce pro prvek dostáváme: Výpočet dalšího prvku vychází ze zapojení nakrátko, jak je uvedeno na předcházejícím obrázku tohoto příkladu a ze vzorce pro prvek . Z obrázku lze snadno poznat, že zde opět nastává rovnost obou proudů, vstupního a výstupního, pro který platí . Dosazením do vzorce pro prvek dostáváme: Výpočet prvku vychází ze zapojení naprázdno, tak jak znázorňuje první obrázek tohoto příkladu a ze vzorce pro . Z výpočtu prvku víme, že výstupní napětí je rovno Z obrázku lze snadno odvodit i vztah pro proud : Tyto poznatky nám plně dostačují pro výpočet prvku : Výpočet prvku je založen na zapojení naktrátko podle druhého obrázku tohoto příkladu a ze vzorce pro . Tak jako u prvku zde platí rovnost obou proudů . Explicitní vyjádření zde není nutné, neboť se navzájem ve vzorci vykrátí. Dosazením do vzorce dostáváme prvek : Vyjádřením všech prvků jsme obdrželi výslednou kaskádní matici (A), která je rovna: Jelikož v tomto případě naplatí rovnost prvků , nejedná se v tomto případě o podélně souměřný dvoubran. Výpočtem determinantu kaskádní matice |A| si ověříme reciprocitu dvoubranu. Z rovnosti opět vyplývá reciprocita dvoubranu.

Příklad.

Výpočet jednoduchého dvojbranu typu "T-článek": Mějme dvojbran (T-článek) definovaný na následujícím obrázku: Prvek spočteme ze zapojení naprázdno dle prvního obrázku tohoto příkladu a ze vztahu pro prvek . Je-li výstupní proud nulový, potom impedance nemá na obvod žádný vliv a jedná se tedy opět o nezatížený odporový dělič. Vztah pro výstupní napětí, jsme si již odvodili v příkladě č.:3 a je rovno: Nyní již stačí dosadit do vzorce, a dostaneme tím tak prvek : Nyní přistoupíme k výpočtu prvku , který vychází ze zapojení nakrátko (viz. druhý obrázek tohoto příkladu) a ze vzorce pro a jeví se na výpočet jako nejtěžší. Nejprve si vyjádříme napětí : Nyní si potřebujeme vyjádřit proud , který získáme z rovnic pro rovnosti úbytku napětí na impedancích Položíme-li tyto výrazy do rovnosti, dostaneme rovnici pro : Dosazením získaných mezivýsledků do vzorce získáme prvek : Prvek získáme ze zapojení naprázdno a ze vztahu pro . Vyjdeme opět z prvního obráyku tohoto příkladu. Jelikož výstupní proud , nemá impedance v obvodu žádný význam. Jedná se tedy opět o nezatížený odporový dělič. Vajádříme si vstupní proud dvojranu : Náslědně si vyjádříme i výstupní napětí dvojbranu, které ale už dobře všichni známe: Vyjádřené hodnoty vstupního proudu a výstupního napětí dvojbranu dosadíme do vzorce a získáme tak prvek : Poslední zbývající prvek vyjádříme ze zapojení nakrátko dle druhého obrázku tohoto příkladu a ze vztahu pro . Vyjdeme z úvah, které jsem použili pro výpočet prvku . Nyní nám ale bude stačit rovnice rovnosti proudů a z ní vyjádřený výstupní proud : Takto vyjádřený výstupní proud nám stačí jenom dosadit do vztahu, čímž dostaneme pro parametr vztah: Nyní, když máme vyjádřeny všechny prvky, je kaskádní matice (A) rovna: Výpočtem determinantu kaskádní matice |A| si ověříme reciprocitu dvoubranu. Z rovnosti determinantu vyplývá reciprocita dvoubranu. Z nerovnosti parametrů můžeme usoudit, že se nejedná o podélně souměrný dvoubran.

Příklad.

Dvoubran typu "velké Gamma": Mějme dvojbran definovaný na následujícím obrázku: Úkol: Spočtěte kaskádní matici dvojbranu, jednak přímo, jednak pomocí dílčích dvojbranů.

Příklad.

Dvoubran typu "-článek": Mějme dvojbran definovaný na následujícím obrázku: Úkol a) Spočtěte kaskádní matici dvojbranu. Úkol b) Na základě spočtené kaskádní matice současně ověřte i platnost vzorce pro kaskádní spojení dvojbranů vhodným spojením dvojbranů řešených v příkladech 1..4